Nazionale bulgaro, cresciuto nel CSKA Sofia, Andrey arriva in Italia giovanissimo al seguito del padre, allenatore di pallavolo, dando il via così ad una carriera italiana che lo vedrà iniziare con i dilettanti del Castellarano, per poi indossare le maglie di Giulianova, Giacomense, Lumezzane, Livorno, Sorrento, Bassano, Gubbio, dove in Prima Divisione mette a segno dodici reti in ventiquattro presenze, guadagnando la chiamata dell'Avellino in Serie B. Nella stagione 2013-2014, con gli irpini Galabinov mette a segno ben quindici reti, confermandosi anche nelle stagioni seguenti tra Livorno e soprattutto Novara, quale uno degli attaccanti più temuti della categoria. Le ottime prestazioni della stagione 2016-2017 trascorsa in Piemonte gli valgono la chiamata da parte del Genoa, che gli consente di esordire in Serie A già alla prima giornata dello scorso campionato, torneo in cui Galabinov totalizzerà venti presenze condite da tre reti, siglate contro Juventus, Cagliari e Sassuolo.